Formazione
La matematica e l'infinito
Storia e attualità di un problema
Edizione: 2019
Collana: Studi Superiori (1171)
ISBN: 9788843095254
- Pagine: 208
- Prezzo:€ 18,05
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In breve
Il volume propone un’analisi dell’infinito in matematica sia dal punto di vista storico sia da quello teorico. Relativamente al primo, vengono esposti alcuni fondamentali risultati classici che riguardano i numeri e le grandezze, soffermandosi in particolare sull'incommensurabilità – che è tra i temi più significativi della storia della matematica – e sviluppando poi la trattazione sino a tempi a noi più vicini. Dal punto di vista teorico, invece, vengono illustrati risultati e teorie attuali relativi alla matematica non archimedea, cioè all'uso dei numeri infiniti e infinitesimi. Il libro si rivolge, dunque, a tutti coloro che desiderano esplorare il mondo dell’infinitamente grande e dell’infinitamente piccolo sia all'interno del rigore della matematica moderna che nella sua evoluzione storica.
Indice
Indice
Prefazione
Parte prima Uno sguardo alla storia
1. L’età classica
La scuola pitagorica/La concezione dei numeri e l’aritmo-geometria/La scoperta dell’incommensurabilità/La sezione aurea/Un paradosso di Zenone di Elea/Platone, gli irrazionali e l’infinito/Aristotele e l’incommensurabilità/Le basi metodologiche degli Elementi euclidei/Qualche aspetto del X libro degli Elementi/Archimede e il metodo di esaustione
2. L’età moderna
Luca Valerio e la tradizione archimedea/Galileo e l’infinito/Il metodo degli indivisibili/Leibniz, Newton: la nascita del calcolo differenziale/Il contributo di Euler
3. La critica dei fondamenti
L’aritmetizzazione dell’analisi : Cauchy e Weierstrass/I paradossi dell’infinito di Bernard Bolzano/Paul Du Bois-Reymond, Stolz e il confronto tra funzioni/I postulati di Dedekind e di Cantor/Le idee di Giuseppe Veronese/Il campo di Levi-Civita
4. L’espulsione degli infinitesimi
Cantor e gli infinitesimi/Le osservazioni di Bettazzi e di Vivami/La dimostrazione di Peano e le osservazioni di Veronese/La posizione di Russell
Parte seconda
L’infinito nella matematica attuale
5. I numeri cardinali
L’albergo di Hilbert/Si può contare l’infinito?/I numeri cardinali/L’aritmetica dei cardinali/Insiemi e classi
6. I numeri ordinali
Gli ordinali di von Neumann/Contare con gli ordinali/L’aritmetica degli ordinali/Cardinali e ordinali a confronto
7. La matematica non archimedea
I campi non archimedei/Parte standard/I monosemii di Tullio Levi-Civita/L’atteggiamento della matematica riguardo all’esistenza
8. L’analisi non standard
Il concetto di velocità istantanea/Robinson e il principio di Leibniz/La teoria Alfa/Lavorare con la teoria Alfa
9. Altre strutture non archimedee
I numeri surreali/La teoria del grossone
10. Teoria delle numerosità
L’albergo di Hilbert rivisitato/Tre modi di contare/L’aritmetica delle numerosità/Operazioni con gli insiemi etichettati/Numerosità di insiemi di cardinalità non numerabile/La quarta nozione comune di Euclide rivisitata
11. I numeri euclidei
Il paradosso della bisezione del segmento/Alla ricerca del continuo euclideo/L’assioma di inaccessibilità/Il continuo aritmetico assoluto/Il campo dei numeri euclidei
12. La probabilità non archimedea
Difficoltà negli assiomi di Kolmogorov/La probabilità in un campo non archimedeo/La lotteria di de Finetti
Conclusioni
Bibliografia
Indice analitico
Indice dei nomi