In breve

Il volume propone un’analisi dell’infinito in matematica sia dal punto di vista storico sia da quello teorico. Relativamente al primo, vengono esposti alcuni fondamentali risultati classici che riguardano i numeri e le grandezze, soffermandosi in particolare sull'incommensurabilità – che è tra i temi più significativi della storia della matematica – e sviluppando poi la trattazione sino a tempi a noi più vicini. Dal punto di vista teorico, invece, vengono illustrati risultati e teorie attuali relativi alla matematica non archimedea, cioè all'uso dei numeri infiniti e infinitesimi. Il libro si rivolge, dunque, a tutti coloro che desiderano esplorare il mondo dell’infinitamente grande e dell’infinitamente piccolo sia all'interno del rigore della matematica moderna che nella sua evoluzione storica.

Indice

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Prefazione

Parte prima Uno sguardo alla storia

1. L’età classica

La scuola pitagorica/La concezione dei numeri e l’aritmo-geometria/La scoperta dell’incommensurabilità/La sezione aurea/Un paradosso di Zenone di Elea/Platone, gli irrazionali e l’infinito/Aristotele e l’incommensurabilità/Le basi metodologiche degli Elementi euclidei/Qualche aspetto del X libro degli Elementi/Archimede e il metodo di esaustione

2. L’età moderna

Luca Valerio e la tradizione archimedea/Galileo e l’infinito/Il metodo degli indivisibili/Leibniz, Newton: la nascita del calcolo differenziale/Il contributo di Euler

3. La critica dei fondamenti

L’aritmetizzazione dell’analisi : Cauchy e Weierstrass/I paradossi dell’infinito di Bernard Bolzano/Paul Du Bois-Reymond, Stolz e il confronto tra funzioni/I postulati di Dedekind e di Cantor/Le idee di Giuseppe Veronese/Il campo di Levi-Civita

4. L’espulsione degli infinitesimi

Cantor e gli infinitesimi/Le osservazioni di Bettazzi e di Vivami/La dimostrazione di Peano e le osservazioni di Veronese/La posizione di Russell

Parte seconda

L’infinito nella matematica attuale

5. I numeri cardinali

L’albergo di Hilbert/Si può contare l’infinito?/I numeri cardinali/L’aritmetica dei cardinali/Insiemi e classi

6. I numeri ordinali

Gli ordinali di von Neumann/Contare con gli ordinali/L’aritmetica degli ordinali/Cardinali e ordinali a confronto

7. La matematica non archimedea

I campi non archimedei/Parte standard/I monosemii di Tullio Levi-Civita/L’atteggiamento della matematica riguardo all’esistenza

8. L’analisi non standard

Il concetto di velocità istantanea/Robinson e il principio di Leibniz/La teoria Alfa/Lavorare con la teoria Alfa

9. Altre strutture non archimedee

I numeri surreali/La teoria del grossone

10. Teoria delle numerosità

L’albergo di Hilbert rivisitato/Tre modi di contare/L’aritmetica delle numerosità/Operazioni con gli insiemi etichettati/Numerosità di insiemi di cardinalità non numerabile/La quarta nozione comune di Euclide rivisitata

11. I numeri euclidei

Il paradosso della bisezione del segmento/Alla ricerca del continuo euclideo/L’assioma di inaccessibilità/Il continuo aritmetico assoluto/Il campo dei numeri euclidei

12. La probabilità non archimedea

Difficoltà negli assiomi di Kolmogorov/La probabilità in un campo non archimedeo/La lotteria di de Finetti

Conclusioni

Bibliografia

Indice analitico

Indice dei nomi