In breve

I teoremi di Gödel suscitano un interesse sempre crescente nella riflessione filosofica contemporanea. Rimane però in discussione fra gli studiosi come si sia arrivati alla loro scoperta e quale sia il loro significato per il dibattito sui fondamenti delle scienze. Nel volume si ripercorrono le vicende che portarono alla formulazione dei teoremi di incompletezza, a partire dall’incontro tra von Neumann e Gödel al Congresso di Königsberg nel 1930, e si indaga, riferendosi in particolare al lavoro di von Neumann, sull’impatto che questi teoremi hanno avuto per il progetto hilbertiano di fondazione della matematica e delle scienze più in generale. Ne risulta un’immagine delle indagini di Hilbert meno rigida di quella finora corrente, in linea con le più recenti acquisizioni della storiografia, e soprattutto più rispettosa della stessa prassi assiomatica, che oscillava per Hilbert tra ambizioni fondazionaliste e istanze pragmatiche. È stato von Neumann a rendere esplicita, dopo la scoperta dei teoremi di Gödel, quella che si può definire come la “svolta pragmatica” nell’assiomatica. Il libro propone inoltre un chiarimento riguardo alla scoperta di von Neumann del secondo teorema di incompletezza.

Indice

Introduzione

Parte prima

Le indagini di Hilbert.

Tra ambizioni fondazionaliste e istanze pragmatiche

1. A proposito del fondazionalismo di Hilbert

Il fondazionalismo presunto/Limiti di una lettura fondazionalista

2. La centralità del metodo assiomatico

Continuità storica dell’indagine fondazionale/I fondamenti della geometria

3. I fondamenti dell’aritmetica

Il dibattito metodologico di fine Ottocento/Dedekind e Kronecker/Esistenza come coerenza: da Dedekind a Hilbert/Il ruolo delle dimostrazioni di coerenza

4. Gli anni del silenzio: logica e matematica

La ricerca di una logica per i fondamenti della matematica/Excursus: l’assiomatizzazione della teoria degli insiemi/Riscoperta e abbandono del logicismo/Verso la formulazione dei «Programmi»

5. I «Programmi di Hilbert»

Continuità sistematica dell’indagine fondazionale/Metodologia: derivazione formale e indagine contenutistica/ Il problema dell’infinito/Linee di realizzazione dei «Programmi» /Stato della ricerca alla fine degli anni Venti

6. Fondazionalismo e pragmatismo. Uno sguardo d’insieme

Parte seconda

La metodologia di von Neumann.

Dai teoremi di incompletezza alle tarde considerazioni fondazionali

7. Il Congresso di Königsberg

Programma e rilevanza/L’adesione alla “Scuola di Hilbert”/L’intervento di von Neumann/La tavola rotonda sui fondamenti della matematica

8. I teoremi di Gödel

Breve storia dell’annuncio/Un risultato rimarchevole

9. L’acquisizione del secondo teorema di incompletezza

Von Neumann e Gödel/Excursus: il mutamento del contesto accademico/La generalizzazione/La permanenza del problema epistemologico

10. Le tarde considerazioni di von Neumann

A partire dagli anni Trenta/La metodologia opportunistica della scienza

11. La metodologia di von Neumann. Uno sguardo d’insieme

Bibliografia

Indice dei nomi