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Metodi matematici della fisica

Carlo Bernardini, Orlando Ragnisco, Paolo Maria Santini

Metodi matematici della fisica

Edizione: 1993

Ristampa: 8^, 2014

Collana: Studi Superiori (825)

ISBN: 9788843015177

  • Pagine: 600
  • Prezzo:44,80 38,08
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In breve

Questo volume di Metodi matematici della fisica risponde a un’esigenza molto sentita dagli studenti del terzo anno del corso di laurea in Fisica, che non dispongono di un trattato unitario in lingua italiana concepito secondo i programmi istituzionali. Il volume è corredato da numerosi esempi scelti in modo da combinare argomenti di carattere matematico con argomenti di carattere fisico: un’impostazione troppo astratta rischia infatti di allontanare dalle finalità di questo insegnamento, che riguardano la matematica di più largo impiego in fisica. L’idea principale che ha guidato la stesura del testo è stata quella di venire incontro alle difficoltà riscontrate nella preparazione degli studenti in una pluriennale esperienza di lezioni, esercitazioni ed esami. Oltre a una parte più tradizionale sulle funzioni di variabile complessa, corredata però da numerose applicazioni originali, si è provveduto a disporre una quantità di materiale, semplice e sistematico, su tutti quei problemi lineari che toccano le idee-chiave della fisica classica e relativistica, dell’elettromagnetismo e della meccanica quantistica. Vengono anche illustrati, con semplicità e chiarezza, alcuni esempi significativi di problemi non-lineari.

Indice

Prefazione 1.Funzioni di una variabile complessa 1.1.Proprietà notevoli dei numeri complessi Definizione e operazioni elementari/Interpretazione geometrica/Calcolo vettoriale in 2 dimensioni con i numeri complessi 1.2.I numeri complessi in fisica Osservatori rotanti/Il metodo delle coordinate rotanti/Sistemi lineari causali/Cinematica in coordinate polari piane 1.3.Funzioni analitiche Il punto all’infinito/La nozione di dominio/Le funzioni di una variabile complessa/Condizioni di Cauchy-Riemann/Funzioni analitiche e funzioni armoniche/Trasformazioni conformi/Funzioni elementari di variabile complessa 1.4.Le trasformazioni (mapping) bilineari o di Moebius Proprietà generali/Trasformazioni elementari/Rappresentazione matriciale del gruppo di Moebius 1.5.Le funzioni analitiche in fisica; l’equazione di Laplace Campi conservativi/Campi vettoriali piani/La soluzione di problemi armonici mediante il mapping 1.6.Singolarità polari ed essenziali; funzioni monodrome Zeri di una funzione analitica e loro proprietà/poli e singolarità essenziali/Classificazione delle funzioni analitiche monodrome 1.7.Polidromia Rami di funzioni polidrome/Superfici di Riemann/Considerazioni topologiche sulle superfici di Riemann 2.Integrazione delle funzioni di una variabile complessa 2.1.Integrali di linea 2.2.Il teorema integrale di Cauchy Il caso dei domini semplicemente connessi/Primitive di una funzione analitica/Il caso dei domini a connessione multipla 2.3.La formula integrale di Cauchy e i suoi corollari La formula integrale di Cauchy/Il teorema del massimo modulo/Corollari/Valore principale di un integrale/Formule di Plemelij-Sokhoski 2.4.Integrali su archi infiniti e infinitesimi. Lemma di Jordan 2.5.La causalità e le relazioni di dispersione 3.Rappresentazioni integrali e per serie 3.1.Considerazioni introduttive 3.2.Domini di convergenza Convergenza uniforme e criteri di convergenza/Famiglie di funzioni 3.3. Teoremi di Liouville e di Morera Teoremi di Liouville/Teorema di Morera 3.4.Serie di Taylor e di Laurent e prodotti infiniti Serie di Taylor/Serie di Laurent/Sviluppo di Mittag-Leffler e prodotti infiniti 3.5.Integrali con i residui Il teorema dei residui/Applicazioni del teorema dei residui 3.6.Il prolungamento analitico Introduzione/Unicità del prolungamento analitico/Prolungamento di soluzioni di equazioni/Il prolungamento analitico; punti regolari e singolari/Esistenza del prolungamento analitico/Il principio di Schwarz e la funzione di Jacobi/Il prolungamento analitico di rappresentazioni integrali/Calcolo di integrali con i residui 3.7.Sviluppi asintotici La nozione di sviluppo asintotico/Operazioni su sviluppi asintotici/Rappresentazioni integrali e sviluppi asintotici/Metodo di Laplace/Il metodo della fase stazionaria (o di Kelvin o di Stokes)/Il metodo del punto di sella/Equazioni differenziali e sviluppi asintotici 4.Spazi lineari e operatori lineari 4.1. Linearità e non-linearità in fisica 4.2. Spazi vettoriali di dimensione finita Spazi vettoriali e vettori colonna/Operatori lineari e matrici/Spazi duali e vettori riga/Basi; trasformazioni e proprietà invarianti/Proprietà spettrali di operatori lineari/Spazi euclidei/ Matrici hermitiane, unitarie e normali/Le matrici di Pauli/Rappresentazione polare di una matrice/Funzioni di matrici 4.3. Spazi lineari astratti Considerazioni introduttive/Spazi lineari: definizione e proprietà/Spazi metrici/Spazi normati/Spazi con prodotto scalare (o euclidei) 4.4.Funzionali lineari e distribuzioni Nozioni preliminari sugli operatori lineari/Funzionali lineari su spazi normati qualsiasi/Distribuzioni 4.5.Operatori lineari Esempi di operatori lineari/Algebra degli operatori lineari/Successioni di operatori e loro proprietà di convergenza/Operatori invertibili. Inverso di un operatore/Operatori aggiunti e autoaggiunti su spazi di Hilbert/L’equazione ?= Ax/Operatori compatti 4.6.Teoria spettrale degli operatori Considerazioni preliminari/L’operatore risolvente/Proprietà spettrali degli operatori autoaggiunti/Operatori unitari e loro spettro/Proprietà spettrali degli operatori compatti/Alcuni esempi/Equazioni lineari alle differenze seconde/Decomposizione spettrale/ 4.7.Serie e integrale di Fourier: ulteriori proprietà e applicazioni Proprietà della serie di Fourier/Proprietà e applicazioni dell’integrale di Fourier/Trasformazioni tra operatori. Trasformata di Cayley 5.Equazioni integrali e differenziali 5.1.Equazioni integrali Operatori integrali/Tipologia delle equazioni integrali/Equazioni di Volterra/Equazioni di Fredholm di seconda specie (I)/Equazioni di Fredholm di seconda specie (II)/Equazioni differenziali ed equazioni di Volterra 5.2.Operatori differenziali e funzione di Green Introduzione; operatori differenziali del I ordine/Operatori differenziali del II ordine/ Problemi di Sturm-Liouville 5.3.Funzioni ortogonali in L2. Polinomi classici I polinomi di Legendre; i polinomi di Chebichev/ Relazioni di ricorrenza; equazioni alle differenze finite/Polinomi di Hermite e di Laguerre 5.4.Il metodo WKB 5.5. Piccole oscillazioni e modi normali 5.6. Cenno all’uso dei gruppi di simmetria 6.Equazioni alle derivate parziali 6.1.Considerazioni elementari 6.2.Equazioni quasi-lineari del 1° ordine 6.3.Equazioni quasi-lineari del 2° ordine 6.4.Una formula di Green 6.5.Equazioni a derivate parziali di interesse per la fisica Introduzione/L’equazione di Poisson/ L’equazione di Helmholtz/L’equazione di Fourier/Problemi di diffrazione e scattering/ L’equazione di Schroedinger e gli stati legati 6.6.Il problema del random-walk Problemi al discreto/Equazioni generali dei processi stocastici stazionari.