Carocci editore - Il linguaggio delle matrici

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Il linguaggio delle matrici

Alfredo Rizzi

Il linguaggio delle matrici

Le applicazioni in economia, in statistica e nelle scienze sociali

Edizione: 1988

Collana: Biblioteca di statistica

ISBN: 9788843009299

  • Pagine: 272
  • Prezzo:40,30 34,25
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In breve

La complessità della ricerca nelle scienze sociali, economiche e statistiche impone linguaggi sintetici che consentano allo studioso di 'controllare' il fenomeno da analizzare, di verificare alcune ipotesi di base e di prospettare teorie con diverso carattere di generalità. L'algebra delle matrici si è mostrata particolarmente adatta nell'analisi multidimensionale dei dati, in econometria, in molte applicazioni nelle scienze sociali. L'analisi dei dati (intesa come metodologia che consente lo studio di un gran numero di caratteri qualitativi e quantitativi rilevati su più unità statistiche) necessita dunque, per consentire di cogliere legami fra caratteri e tra fenomeni, individuare rassomiglianze e differenze, determinare strutture di associazione, del linguaggio che è, tra l'altro, facilmente traducibile per gli elaboratori elettronici. Questo libro espone gli elementi essenziali dell'algebra delle matrici, presentati con riferimento alle applicazioni nel campo economico e statistico. Corredato da molti esempi e applicazioni, il testo è destinato a tutti coloro che, per motivi di lavoro o di studio, operano o si propongono di operare nell'ambito delle scienze sociali utilizzando strumenti adeguati alle necessità operative. Questo libro fa parte della Biblioteca di Statistica diretta da Alfredo Rizzi; la collana, oltre che indirizzarsi a coloro che operano nell'ambito accademico, intende rivolgersi a studiosi e ricercatori che operano negli uffici studi di aziende industriali, commerciali e di servizi nella pubblica amministrazione, negli enti locali e nel mondo della ricerca (economisti, sociologi, psicologi, medici, biologi, matematici, ingegneri).

Indice

Premessa 1. Algebra delle matrici 1.1. Definizioni Rappresentazione geometrica / Vettori / Matrici quadrate / Matrici particolari / Matrici simmetriche / Matrici trasposte 1.2. Operazioni algebriche sulle matrici Somma di due matrici / Prodotto di uno scalare per una matrice / Prodotto di due matrici / Potenza di una matrice / Matrici ortogonali / Alcune proprietà dei prodotti tra matrici / Derivate di vettori e matrici / Massimi e minimi di una funzione a più variabili 1.3. Applicazioni statistiche La media aritmetica / La varianza, la devianza, la covarianza, il coefficiente di correlazione / Le matrici dei dati (scarti, percentuali, devianze, varianze, correlazione) 1.4. Traccia di una matrice Prodotto interno tra matrici 1.5. Determinante di una matrice quadrata Definizione di determinante / Alcune proprietà dei determinanti / Sviluppo di un determinante secondo gli elementi di una riga o di una colonna (teorema di Laplace) / Teorema di Binet-Cauchy / Calcolo di un determinante / Determinanti particolari 1.6. Rango o caratteristica di una matrice Matrici equivalenti / Alcune proprietà del rango di una matrice / Il rango di alcune matrici che intervengono in statistica 1.7. Matrice inversa di una matrice quadrata Definizioni / Matrice inversa destra e matrice inversa sinistra / Matrici simili / Applicazioni all'analisi di regressione lineare multipla / Metodo di Jordan per la determinazione della matrice inversa 1.8. Matrici composte Definizioni / Operazioni algebriche sulle matrici composte 1.9. Altre definizioni di prodotto di matrici Prodotto diretto di Kronecker di due matrici / L'operatore Vec / Il prodotto di Hadamard / Somma diretta di due matrici 1.10. Applicazione. Le equazioni simultanee La forma matriciale delle equazioni simulatanee 2. Sistemi di equazioni lineari 2.1. Definizioni Equazioni lineari / Sistemi di equazioni lineari / Problemi mal posti 2.2. Sistemi di equazioni lineari di n equazioni in n incognite Sistemi non omogenei / Applicazione economica. Le tavole intersettoriali input-output / Sistemi omogenei / Cenni sui metodi numerici di soluzione dei sistemi normali 2.3. Sistemi lineari di n equazioni in p incognite Il caso generale / Compatibilità dei sistemi lineari omogenei 2.4. Inversa generalizzata Definizioni / Alcune proprietà della matrice inversa generalizzata di una matrice simmetrica / Inversa generalizzata di Moore-Penrose / Esistenza e unicità dell'inversa generalizzata di Moore-Penrose / Inversa generalizzata di una matrice composta / Applicazioni al metodo dei minimi quadrati generalizzati 2.5. Inversa generalizzata nella soluzione dei sistemi di equazioni lineari Sistemi non omogenei / Sistemi omogenei 3. Spazi lineari 3.1. Definizione di spazio lineare 3.2. Base di uno spazio lineare Dimensione di uno spazio lineare / Alcuni teoremi sulle basi di uno spazio lineare 3.3. Sottospazi di uno spazio lineare Proprietà dei sottospazi di uno spazio lineare / Somma diretta di sottospazi lineari / Nucleo di una matrice (Kernel) / Isomorfismo tra spazi lineari 3.4. Spazi euclidei Alcune proprietà degli spazi euclidei / Cenni su altre strutture algebriche / Spazi metrici / Norme di uno spazio lineare, di un vettore e di una matrice 3.5. Insiemi ortogonali Il procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt 3.6. Sottospazi ortogonali Proiezione ortogonale 4. Autovalori e autovettori 4.1. Definizione di autovalore ed autovetture Autovettori normalizzati / Matrici simmetriche a elementi reali 4.2. Proprietà degli autovalori Teorema di Cayley-Hamilton / Somma e prodotto di autovalori. La traccia e il determinante / Altre proprietà degli autovalori / Matrici simili ad elementi reali / Matrici diagonalizzabili / Matrici riducibili / Diagonalizzazione simultanea di due matrici simmetriche / Decomposizione spettrale / Matrici non negative. Teorema di Frobenius-Petron / Autovalori di particolari matrici / Sviluppi in serie di matrici / Limitazioni per gli autovalori di una matrice 4.3. Applicazioni statistiche Standardizzazione completa / Analisi delle componenti principali / Determinazione delle componenti principali con metodo analitico 5. Forme quadratiche 5.1. Definizione di forma quadratica bilineare Forme quadratiche definitive positive / Condizioni necessarie e sufficienti affinché una matrice sia definitiva positiva 5.2. Riduzione a forma canonica di una forma quadratica 5.3. Applicazioni statistiche Forme quadratiche, distribuzione normale e X² Appendice. Elaborazione elettronica Premessa / Un esempio in SAS / Un esempio con altri linguaggi / Inversione della matrice con il metodo di Jordan / Ulteriori considerazioni Bibliografia Indice analitico